Théorème des événements rares de Poisson

analysis

On établit la convergence en loi vers une loi de Poisson d’une suite de variables aléatoires.

G-K

p. 372

Lemme 1. Soient $z_{1}, \dots, z_{n}, u_{1}, \dots u_{n} \in C$ de module inférieur ou égal à $1$ . Alors $∣ z_{1} \dots z_{n} - u_{1} \dots u_{n} ∣ \leq ∣ z_{1} - u_{1} ∣ + \dots ∣ z_{n} - u_{n} ∣$

Démonstration. $∣ z_{1} z_{2} - u_{1} u_{2} ∣ = ∣ z_{1} (z_{2} - u_{2}) + u_{2} (z_{1} - u_{1}) ∣ \leq ∣ z_{1} - u_{1} ∣ + ∣ z_{2} - u_{2} ∣$ . On procède ensuite par récurrence pour montrer le résultat. ◻

p. 390

Théorème 2 (des événements rares de Poisson). Soit $(N_{n})_{n \geq 1}$ une suite d’entiers tendant vers l’infini. On suppose que pour tout $n$ , $A_{n, N_{1}}, \dots, A_{n, N_{n}}$ sont des événements indépendants avec $P (A_{n, N_{k}}) = p_{n, k}$ . On suppose également que :

$lim_{n \to + \infty} s_{n} = λ > 0$ où $\forall n \in N, s_{n} = \sum_{k = 1}^{N_{n}} p_{n, k}$ .
$lim_{n \to + \infty} sup_{k \in [[1, N_{n}]]} p_{n, k} = 0$ .

Alors, la suite de variables aléatoires $(S_{n})$ définie par $\forall n \in N^{*}, S_{n} = k = 1 \sum N_{n} 1_{A_{n, k}}$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $λ$ .

Démonstration. Pour la suite, on note $\forall n \in N, m_{n} = max_{k \in [[1, N_{n}]]} p_{n, k}$ . On calcule $ϕ_{S_{n}} (t) = E (e^{i t S_{n}}) = E (e^{i t \sum_{k = 1}^{N_{n}} 1_{A_{n, k}}}) = E (k = 1 \prod N_{n} e^{i t 1_{A_{n, k}}}) = k = 1 \prod N_{n} E (e^{i t 1_{A_{n, k}}}) par ind \overset{e}{ˊ} pendance = k = 1 \prod N_{n} ((1 - p_{n, k}) + e^{i t} p_{n, k}) = k = 1 \prod N_{n} (p_{n, k} (e^{i t} - 1) + 1)$ l’avant-dernière égalité étant justifiée par le fait que $P (e^{i t 1_{A_{n, k}}} = e^{i t}) = P (A_{n, k} = 1) = p_{n, k} et P (e^{i t 1_{A_{n, k}}} = 1) = P (A_{n, k} = 0) = 1 - p_{n, k}$ Soient $P_{n, k}$ des variables aléatoires indépendantes suivant les lois de Poisson de paramètres respectifs $p_{n, k}$ . On pose $S_{n}^{'} = k = 1 \sum N_{n} P_{n, k}$ et on calcule la fonction caractéristique de cette nouvelle variable aléatoire : $ϕ_{S_{n}^{'}} (t) = k = 1 \prod N_{n} ϕ_{P_{n, k}} (t) par ind \overset{e}{ˊ} pendance = k = 1 \prod N_{n} exp (p_{n, k} (e^{i t} - 1))) = exp (s_{n} (e^{i t} - 1))$ Par différence, on obtient $∣ ϕ_{S_{n}} (t) - ϕ_{S_{n}^{'}} (t) ∣ = k = 1 \prod N_{n} (p_{n, k} (e^{i t} - 1) + 1) - k = 1 \prod N_{n} exp (p_{n, k} (e^{i t} - 1)))$ ce qui, après application du 1, donne l’inégalité $∣ ϕ_{S_{n}} (t) - ϕ_{S_{n}^{'}} (t) ∣ \leq k = 1 \sum N_{n} g (p_{n, k} (e^{i t} - 1))$ avec $g : z \mapsto ∣ e^{z} - 1 - z ∣$ . Mais, par développement en série entière : $g (z) = k = 2 \sum + \infty \frac{z ^{k}}{k !} = k = 0 \sum + \infty \frac{z ^{k + 2}}{( k + 2 )!} = z^{2} k = 0 \sum + \infty \frac{z ^{k}}{k !} \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} \leq ∣ z ∣^{2} k = 0 \sum + \infty \frac{∣ z ∣ ^{k}}{k !} \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} \leq ∣ z ∣^{2} \frac{e ^{∣ z ∣}}{2}$ Mais, comme $∣ p_{n, k} (e^{i t} - 1) ∣ \leq 2 p_{n, k} \leq 2$ , on a : $∣ ϕ_{S_{n}} (t) - ϕ_{S_{n}^{'}} (t) ∣ \leq k = 1 \sum N_{n} (2 p_{n, k})^{2} \frac{e ^{2}}{2} = 2 e^{2} k = 1 \sum N_{n} 2 p_{n, k}^{2} \leq 2 e^{2} ⟶ λ s_{n} ⟶ 0 m_{n} ⟶ 0$ Enfin, $∣ ϕ_{S_{n}} (t) - exp (λ (e^{i t} - 1)) ∣ \leq ∣ ϕ_{S_{n}} (t) - ϕ_{S_{n}^{'}} (t) ∣ + ∣ ϕ_{S_{n}^{'}} (t) - exp (λ (e^{i t} - 1)) ∣ \leq ⟶ 0 ∣ ϕ_{S_{n}} (t) - ϕ_{S_{n}^{'}} (t) ∣ + ∣ ⟶ 0 car s_{n} ⟶ λ exp (s_{n} (e^{i t} - 1)) - exp (λ (e^{i t} - 1)) ∣ ⟶ 0$ et le théorème de Lévy permet de conclure. ◻