235 Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

analysis

Problèmes d’interversion avec les suites et séries de fonctions

Utilisation de la convergence uniforme

AMR11

p. 146

Théorème 1 (de la double limite). Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, $E$ un espace de Banach, $(f_{n})$ une suite de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in \overline{X}$ . On suppose :

$(f_{n})$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ .

Alors, $n \to + \infty lim (x \to a lim f_{n} (x)) = x \to a lim (n \to + \infty lim f_{n} (x))$

Théorème 2. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie, $E$ un espace de Banach, $(f_{n})$ une suite de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in X$ . On suppose :

$(f_{n})$ converge uniformément sur $X$ vers $f$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ est continue en $a$ .

Alors $f$ est continue en $a$ .

Exemple 3. La suite $(f_{n})$ définie sur $R^{+}$ pour tout $n \in N$ par $f_{n} : x \mapsto e^{- n x}$ converge vers $f : R^{+} x \to \mapsto R^{+} {10 si x = 0 sinon$ Les fonctions $f_{n}$ sont continues, mais $f$ ne l’est pas : on n’a pas convergence uniforme sur $R^{+}$ .

Théorème 4. Soient $I$ un intervalle non vide de $R$ , $E$ un espace vectoriel normé et $(f_{n})$ une suite de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est dérivable sur $I$ .
$(f_{n})$ converge simplement sur $I$ vers $f$ .
$(f_{n}^{'})$ converge uniformément sur $I$ .

Alors $f$ est dérivable sur $I$ et $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) = lim_{n \to + \infty} f_{n}^{'} (x)$ .

Contre-exemple 5. La suite $(f_{n})$ définie sur $R$ pour tout $n \in N$ par $f_{n} : x \mapsto (x^{2} + \frac{1}{n ^{2}})^{\frac{1}{2}}$ converge vers $x \mapsto ∣ x ∣$ , qui n’est pas dérivable à l’origine bien que les $f_{n}$ le soient.

Théorème 6. Soient $I = [a, b]$ un segment non vide de $R$ , $E$ un espace de Banach et $(f_{n})$ une suite de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ .
Il existe $x_{0} \in I$ tel que $(f_{n} (x_{0}))$ converge.
$(f_{n}^{'})$ converge uniformément sur $I$ vers $g$ .

Alors $(f_{n})$ converge uniformément sur $I$ vers $f$ de classe $C^{1}$ sur $I$ et $f^{'} = g$ .

Séries de fonctions et limites

p. 195

Théorème 7. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé, $E$ un espace de Banach, $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in \overline{X}$ . On suppose :

$\sum f_{n}$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n} (x)$ admet une limite $ℓ_{n}$ quand $x$ tend vers $a$ .

Alors, $\sum ℓ_{n}$ converge dans $E$ et, $x \to a lim n = 0 \sum + \infty f_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty x \to a lim f_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty ℓ_{n}$

Théorème 8. Soient $X$ une partie non vide d’un espace vectoriel normé, $E$ un espace de Banach, $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $X$ dans $E$ et $a \in X$ . On suppose :

$\sum f_{n}$ converge uniformément sur $X$ .
$\forall n \in N, f_{n}$ est continue en $a$ .

Alors, $\sum_{n = 0}^{+ \infty} f_{n}$ est continue en $a$ .

Exemple 9. La fonction $x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{e ^{- n ∣ x ∣}}{n ^{2}}$ est continue sur $R$ .

Théorème 10. Soient $I$ un intervalle non vide de $R$ , $E$ un espace de Banach et $\sum f_{n}$ une série de fonctions de $I$ dans $E$ . On suppose :

$\forall n \in N, f_{n}$ est dérivable sur $I$ .
Il existe $x_{0} \in I$ tel que $\sum f_{n} (x_{0})$ converge.
$\sum f_{n}^{'}$ converge uniformément sur $I$ .

Alors $\sum f_{n}$ converge simplement sur $I$ uniformément sur tout compact de $I$ , et, $(n = 0 \sum + \infty f_{n})^{'} = n = 0 \sum + \infty f_{n}^{'}$

Exemple 11. La fonction $ζ : s \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{s}}$ est $C^{\infty}$ sur $] 1, + \infty [$ et, $\forall k \in N, \forall s \in] 1, + \infty [, ζ^{(k)} (s) = (- 1)^{k} n = 1 \sum + \infty \frac{( ln ( s ) ) ^{k}}{n ^{s}}$

Le cas des séries entières

GOU20

p. 247

Définition 12. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum a_{n} z^{n}$ où $z$ est une variable complexe et où $(a_{n})$ est une suite complexe.

Lemme 13 (Abel). Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière et $z_{0} \in C$ tels que $(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée. Alors :

$\forall z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
$\forall r \in] 0, ∣ z_{0} ∣ [, \sum a_{n} z^{n}$ converge normalement dans $\overline{D} (0, r) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ \leq r}$ .

Définition 14. En reprenant les notations précédentes, le nombre $R = sup {r \geq 0 ∣ (∣ a_{n} ∣ r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e}$ est le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ .

p. 255

Exemple 15.

$\sum n^{2} z^{n}$ a un rayon de convergence égal à $1$ .
$\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ a un rayon de convergence infini. On note $z \mapsto e^{z}$ la fonction somme.

QUE

p. 57

Proposition 16. Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $r \neq = 0$ . Alors $S \in H (D (0, r))$ et, $S^{'} (z) = n = 0 \sum + \infty n a_{n} z^{n - 1}$ pour tout $z \in D (0, r)$ .

Plus précisément, pour tout $k \in N$ , $S$ est $k$ fois dérivable avec $S^{(k)} (z) = n = k \sum + \infty n (n - 1) \dots (n - k + 1) a_{n} z^{n - k}$

GOU20

p. 263

theoreme-d-abel-angulaire

Théorème 17 (Abel angulaire). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ telle que $\sum a_{n}$ converge. On note $f$ la somme de cette série sur le disque unité $D$ de $C$ . On fixe $θ_{0} \in [0, \frac{π}{2} [$ et on pose $Δ_{θ_{0}} = {z \in D ∣ \exists ρ > 0 et \exists θ \in [- θ_{0}, θ_{0}] tels que z = 1 - ρ e^{i θ}}$ .

Alors $lim_{z \to 1 z \in Δ_{θ_{0}}} f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}$ .

Application 18. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )} = \frac{π}{4}$

Application 19. $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln (2)$

Contre-exemple 20. La réciproque est fausse : $z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim (- 1)^{n} z^{n} = z \to 1 ∣ z ∣ < 1 lim \frac{1}{1 + z} = \frac{1}{2}$

Théorème 21 (Taubérien faible). Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $1$ . On note $f$ la somme de cette série sur $D (0, 1)$ . On suppose que $\exists S \in C tel que x \to 1 x < 1 lim f (x) = S$ Si $a_{n} = o (\frac{1}{n})$ , alors $\sum a_{n}$ converge et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = S$ .

Remarque 22. Ce dernier résultat est une réciproque partielle du 17. Il reste vrai en supposant $a_{n} = O (\frac{1}{n})$ (c’est le théorème Taubérien fort).

Problèmes d’interversion en intégration

On se place dans un espace mesuré $(X, A, μ)$ .

Intégrale d’une suite de fonctions

B-P

p. 124

Théorème 23 (Convergence monotone). Soit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions mesurables positives. Alors, la limite $f$ de cette suite est mesurable positive, et, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ$

Application 24. Soient $f$ , $g$ deux fonctions mesurables positives.

$f \leq g ⟹ \int_{X} f d μ \leq \int_{X} g d μ$ (l’intégrale est croissante).
$\int_{X} (f + g) d μ = \int_{X} f d μ + \int_{X} g d μ$ (l’intégrale est additive).
$\forall λ \geq 0, \int_{X} λ f d μ = λ \int_{X} f d μ$ (l’intégrale est positivement homogène).
Si $f = g$ pp., alors $\int_{X} f d μ = \int_{X} g d μ$ .

p. 137

Théorème 25 (Lemme de Fatou). Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions mesurables positives. Alors, $0 \leq \int_{X} lim inf f_{n} d μ \leq lim inf \int_{X} f_{n} d μ \leq + \infty$

Exemple 26. Soit $f$ croissante sur $[0, 1]$ , continue en $0$ et dérivable en $1$ et dérivable pp. dans $[0, 1]$ . Alors, $\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x \leq f (1) - f (0)$

Théorème 27 (Convergence dominée). Soit $(f_{n})$ une suite d’éléments de $L_{1}$ telle que :

pp. en $x$ , $(f_{n} (x))$ converge dans $K$ vers $f (x)$ .
$\exists g \in L_{1}$ positive telle que $\forall n \in N, pp. en x, ∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ Alors, $\int_{X} f d μ = n \to + \infty lim \int_{X} f_{n} d μ et n \to + \infty lim \int_{X} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0$

Exemple 28.

On reprend l’26 et on suppose $f$ partout dérivable sur $[0, 1]$ de dérivée bornée. Alors l’inégalité est une égalité.
Soit $α > 1$ . On pose $\forall n \geq 1, I_{n} (α) = \int_{0}^{n} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{- αx} d x$ . Alors, $n \to + \infty lim I_{n} (α) = \int_{0}^{+ \infty} e^{(1 - α) x} d x = \frac{1}{α - 1}$

AMR11

p. 156

Exemple 29. $n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{x ^{2 n} + 1} d x = 0$

B-P

p. 144

Application 30 (Lemme de Borel-Cantelli). Soit $(A_{n})$ une famille de parties de $A$ . Alors, $n = 1 \sum + \infty μ (A_{n}) < + \infty ⟹ μ (n \to + \infty lim sup A_{n}) = 0$

Intégrale à paramètre

Z-Q

p. 312

Soit $f : E \times X \to C$ où $(E, d)$ est un espace métrique. On pose $F : t \mapsto \int_{X} f (t, x) d μ (x)$ .

Continuité

Théorème 31 (Continuité sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue en $t_{0} \in E$ .
$\exists g \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g (x) \forall t \in E, pp. en x \in X$

Alors $F$ est continue en $t_{0}$ .

Corollaire 32. On suppose :

$\forall t \in E$ , $x \mapsto f (t, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est continue sur $E$ .
$\forall K \subseteq E, \exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (t, x) ∣ \leq g_{K} (x) \forall t \in E, pp. en x$

Alors $F$ est continue sur $E$ .

p. 318

Exemple 33. La fonction $Γ : R_{*}^{+} t \to \mapsto R_{*}^{+} \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ est bien définie et continue sur $R_{*}^{+}$ .

G-K

p. 104

Exemple 34. Soit $f : R^{+} \to C$ intégrable. Alors, $λ \mapsto \int_{0}^{+ \infty} e^{- λ t} f (t) d t$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .

Dérivabilité

Z-Q

p. 313

On suppose ici que $E$ est un intervalle $I$ ouvert de $R$ .

Théorème 35 (Dérivation sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x)$ est dérivable sur $I$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial t}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $\frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \leq g_{K} (x) \forall t \in I, pp. en x$

Alors $\forall t \in I$ , $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \in L_{1} (X)$ et $F$ est dérivable sur $I$ avec $\forall t \in I, F^{'} (t) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) d μ (x)$

Remarque 36.

Si dans le 35, hypothèse (i), on remplace dérivable par $C^{1}$ , alors la fonction $F$ est de classe $C^{1}$ .
On a un résultat analogue pour les dérivées d’ordre supérieur.

Théorème 37 ( $k$ -ième dérivée sous le signe intégral). On suppose :

$\forall t \in I$ , $x \mapsto f (t, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $t \mapsto f (t, x) \in C^{k} (I)$ . On notera $(\frac{\partial}{\partial t})^{j} f$ la $j$ -ième dérivée définie presque partout pour $j \in [[0, k]]$ .
$\forall j \in [[0, k]]$ , $\forall K \subseteq I$ compact, $\exists g_{j, K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $(\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) \leq g_{j, K} (x) \forall t \in K, pp. en x$

Alors $\forall j \in [[0, k]]$ , $\forall t \in I$ , $x \mapsto (\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) \in L_{1} (X)$ et $F \in C^{k} (I)$ avec $\forall j \in [[0, k]], \forall t \in I, F^{(j)} (t) = \int_{X} (\frac{\partial}{\partial t})^{j} f (x, t) d μ (x)$

p. 318

Exemple 38. La fonction $Γ$ de l’33 est $C^{\infty}$ sur $R_{*}^{+}$ .

B-P

p. 149

Exemple 39. On se place dans l’espace mesuré $(N, P (N), card)$ et on considère $(f_{n})$ une suite de fonctions dérivables sur $I$ telle que $\forall x \in R, n \in N \sum ∣ f_{n} (x) ∣ + x \in I sup ∣ f_{n}^{'} (t) ∣ < + \infty$ Alors $x \mapsto \sum_{n \in N} f_{n} (x)$ est dérivable sur $I$ de dérivée $x \mapsto \sum_{n \in N} f_{n}^{'} (x)$ .

GOU20

p. 169

Application 40 (Transformée de Fourier d’une Gaussienne). En résolvant une équation différentielle linéaire, on a $\forall α > 0, \forall x \in R, \int_{R} e^{- α t^{2}} e^{- i t x} d t = \frac{π}{α} e^{- \frac{x ^{2}}{π α}}$

G-K

p. 107

integrale-de-dirichlet

Application 41 (Intégrale de Dirichlet). On pose $\forall x \geq 0$ , $F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( t )}{t} e^{- x t} d t$ alors :

$F$ est bien définie et est continue sur $R^{+}$ .
$F$ est dérivable sur $R_{*}^{+}$ et $\forall x \in R_{*}^{+}$ , $F^{'} (x) = - \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .
$F (0) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n ( t )}{t} d t = \frac{π}{2}$ .

Holomorphie

Z-Q

p. 314

On suppose ici que $E$ est un ouvert $Ω$ de $C$ .

Théorème 42 (Holomorphie sous le signe intégral). On suppose :

$\forall z \in Ω$ , $x \mapsto f (z, x) \in L_{1} (X)$ .
pp. en $x \in X$ , $z \mapsto f (z, x)$ est holomorphe dans $Ω$ . On notera $\frac{\partial f}{\partial z}$ cette dérivée définie presque partout.
$\forall K \subseteq Ω$ compact, $\exists g_{K} \in L_{1} (X)$ positive telle que $∣ f (x, z) ∣ \leq g_{K} (x) \forall z \in K, pp. en x$

Alors $F$ est holomorphe dans $Ω$ avec $\forall z \in Ω, F^{'} (z) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial z} (z, t) d μ (z)$

p. 318

Exemple 43. La fonction $Γ$ de l’33 est holomorphe dans l’ouvert ${z \in C ∣ Re (z) > 0}$ .

Intégrale sur un espace produit

B-P

p. 237

Théorème 44 (Fubini-Tonelli). Soient $(Y, B, ν)$ un autre espace mesuré et $f : (X \times Y) \to \overline{R^{+}}$ . On suppose $μ$ et $ν$ $σ$ -finies. Alors :

$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont mesurables.
Dans $\overline{R^{+}}$ , $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Théorème 45 (Fubini-Lebesgue). Soient $(Y, B, ν)$ un autre espace mesuré et $f \in L_{1} (μ \otimes ν)$ . Alors :

Pour tout $y \in Y$ , $x \mapsto f (x, y)$ et pour tout $x \in X$ , $y \mapsto f (x, y)$ sont intégrables.
$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ et $y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x)$ sont intégrables, les fonctions étant définies pp.
On a : $\int_{X \times Y} f d (μ \otimes ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x))$

Contre-exemple 46. On considère $f : (x, y) \mapsto 2 e^{- 2 x y} - e^{- x y}$ . Alors, $\int_{[0, 1]} (\int_{R^{+}} f (x, y) d x) d y = 0$ , mais $\int_{R^{+}} (\int_{[0, 1]} f (x, y) d y) d x = ln (2)$ .

GOU20

p. 359

Exemple 47. Soient $f : (x, y) \mapsto x y$ et $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ x, y \geq 0 et x + y \leq 1}$ . Alors, $\int \int_{D} = f (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} x \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{24}$

Problèmes d’interversion en analyse de Fourier

Séries de Fourier

p. 267

Définition 48. Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et continue par morceaux sur $R$ . On appelle coefficients de Fourier de $f$ les nombres complexes définis par $\forall n \in Z, c_{n} (f) = \int_{0}^{2 π} f (t) e^{- in t} d t$ La série de Fourier associée à $f$ est $n \in Z \sum c_{n} (f) e^{in x}$

Théorème 49 (Parseval). Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et continue par morceaux sur $R$ . Alors la série de Fourier de $f$ est convergente et, $n = - \infty \sum + \infty ∣ c_{n} (f) ∣^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} ∣ f (t) ∣ d t$

Exemple 50. Avec $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ , on obtient $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{4}} = \frac{π ^{4}}{90}$ .

Théorème 51 (Jordan-Dirichlet). Soit $f : R \to C$ une application $2 π$ -périodique et $C^{1}$ par morceaux sur $R$ . Alors la série de Fourier de $f$ est convergente en tout point $x \in R$ et sa somme en ce point vaut $\frac{f ( x ^{+} ) + f ( x ^{-} )}{2}$

Exemple 52. Toujours avec $f : x \mapsto 1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2}}$ , on obtient $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ .

Transformée de Fourier

AMR08

p. 109

Définition 53. Soit $f : R^{d} \to C$ une fonction mesurable. On définit, lorsque cela a un sens, sa transformée de Fourier, notée $f$ par $f : R^{d} ξ \to \mapsto C \int_{R^{d}} f (x) e^{- i ⟨ x, ξ ⟩} d x$

Exemple 54 (Densité de Poisson). On pose $\forall x \in R$ , $p (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ . Alors $p \in L_{1} (R)$ et, $\forall ξ \in R$ , $p (ξ) = \frac{1}{1 + ξ ^{2}}$ .

Lemme 55 (Riemann-Lebesgue). Soit $f \in L_{1} (R^{d})$ , $f$ existe et $∥ ξ ∥ \to + \infty lim f (ξ)$

Théorème 56. $\forall f \in L_{1} (R^{d})$ , $f$ est continue, bornée par $∥ f ∥_{1}$ . Donc la transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) f \to \mapsto C_{0} (R^{d}) f$ est bien définie.

Corollaire 57. La transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ est une application linéaire continue.

Exemple 58. $\forall ξ \in R, 1_{[- 1, 1]} (ξ) = {\frac{2 s i n ( ξ )}{ξ} si ξ \neq = 0 2 sinon$ Remarquons ici que la transformée de Fourier n’est pas intégrable.

Théorème 59 (Formule de dualité). $\forall f, g \in L_{1} (R^{d}), \int_{R^{d}} f (t) g (t) d t = \int_{R^{d}} f (t) g (t) d t$

Corollaire 60. La transformation de Fourier $F : L_{1} (R^{d}) \to C_{0} (R^{d})$ est une application injective.

Théorème 61 (Formule d’inversion de Fourier). Si $f \in L_{1} (R^{d})$ est telle que $f \in L_{1} (R^{d})$ , alors $f (x) = (2 π)^{d} f (x) pp. en x \in R^{d}$

GOU20

p. 284

Théorème 62 (Formule sommatoire de Poisson). Soit $f : R \to C$ une fonction de classe $C^{1}$ telle que $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ et $f^{'} (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ quand $∣ x ∣ ⟶ + \infty$ . Alors : $\forall x \in R, n \in Z \sum f (x + n) = n \in Z \sum f (2 πn) e^{2 iπn x}$

Application 63 (Identité de Jacobi). $\forall s > 0, n = - \infty \sum + \infty e^{- π n^{2} s} = \frac{1}{s} n = - \infty \sum + \infty e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$